ত্রিকোণমিতিক function এর পারস্পারিক সম্পর্ক ও কয়েকটি সমাধান

শ্রেণিঃ দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: ত্রিকোণমিতি (তৃতীয় পর্ব)

প্রথম পর্বে আমরা জেনেছি, যদি ΔABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ হয় এবং যার ABC = 90º ABC = θ

	Sin θ বা < ACB এর sine
	Cos θ বা < ACB এর cosine
	tan θ বা < ACB এর tangent

এখন, Sin θ এর অন্যোন্যক-ই হল Cosec θ, অর্থাৎ,

ঠিক তেমন, Cos θএর অন্যোন্যক হল

আবার, Tan θ এর অন্যোন্যক হল

এবার, $sin^{2}\theta + cos^{2}\theta = \left (\frac{AB}{AC} \right )^{2} +\left (\frac{BC}{AC} \right )^{2}$

= $\frac{(AB)^{2}+(BC)^{2}}{(AC)^{2}}$

= $=\frac{(AC)^{2}}{(AC)^{2}}\; \; \;\;[\because AB^{2}+BC^{2} = AC^{2}]$

= 1

ঠিক একই প্রকারে আমরা পাই,

$sec^{2}\theta - tan^{2}\theta = 1$ ——— (1)

$cosec^{2}\theta - cot^{2}\theta = 1$ ——— (2)

[(1) ও (2) নম্বর প্রমাণগুলি নিজে করার চেষ্টা করো]

এবার, আমরা এই তিন পর্বের ধারণার ভিত্তিতে কয়েকটি প্রশ্নের সমাধানের চেষ্টা করবো।

প্রথম উদাহরণ

$\mathbf{sin \: c = \frac{2}{3}}$ হলে $\mathbf{cos \; c \times cosec\; c = ?}$

∴ লম্ব AB = 2 একক, অতিভুজ AC = 3 একক হলে,

ভূমি BC = $\sqrt{AC^{2} -{AB}^{2}}$

= $\sqrt{9 - 4}$

= $\sqrt{5}$ একক

$\therefore cos \; c = \frac{BC}{AC} =\frac{\sqrt{5}}{3}$

এখন $cosec\; c = \frac{1}{sin\; c}$

$\therefore cosec\; c = \frac{3}{2}$

$\mathbf{\therefore cos\; c \times cosec\; c = \frac{\sqrt{5}}{3}\times \frac{3}{2}= \frac{\sqrt{5}}{2}}$ একক।

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবন বিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান

দ্বিতীয় উদাহরণ

$\mathbf{\frac{1-sin^{2}30^{\circ}}{1+sin^{2}45^{\circ}}\times \frac{cos^{2}60^{\circ} + cos^{2}30^{\circ}}{cosec^{2}90^{\circ} - cot^{2}90^{\circ}}\div (sin 60^{\circ} \times tan30^{\circ})}$

আমরা ত্রিকোণমিতিক ছকে function গুলির মান জেনে গিয়েছি আগের পর্বে। এবার আমরা সেই মানগুলি বসিয়ে পাই –

$\frac{1-(\frac{1}{2})^{2}}{1+(\frac{1}{\sqrt2})^{2}}\times \frac{(\frac{1}{2})^{2} + (\frac{\sqrt3}{2})^{2}}{1} \div (\frac{\sqrt3}{2} \times \frac{1}{\sqrt3} )$

= $\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{2}}\times \frac{(\frac{1}{4}+ \frac{3}{4})}{1} \times \frac{2}{1}$

= $\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}\times \frac{4}{4}\times \frac{2}{1}$

= 1

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

তৃতীয় উদাহরণ

$\mathbf{tan^2\; \frac{\pi}{4}\; sin \frac{\pi}{3}\; tan\frac{\pi}{6}\; tan^2\frac{\pi}{3}= 1\frac{1}{2}}$

‘π’ বলতে এখানে বুঝব 180º, রেডিয়ানে কোণের মান ‘π’ বা ‘π’ যুক্ত সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা হয়, সেখানে 2π = 360º ধরে নেওয়া হয়।

সুতরাং, $\frac{\pi}{4}=\frac{180^{\circ}}{4}=45^{\circ}$ , $\frac{\pi}{3}=\frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ}$ এবং $\frac{\pi}{6}=\frac{180^{\circ}}{6}=30^{\circ}$