trigo-function
Madhyamik

ত্রিকোণমিতিক function এর পারস্পারিক সম্পর্ক ও কয়েকটি সমাধান

বিষয়: গণিত । অধ্যায়: ত্রিকোণমিতি (তৃতীয় পর্ব)


প্রথম পর্বে আমরা জেনেছি, যদি ΔABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ হয় এবং যার ABC = 90º ABC = θ

right-angle-triangle-trigo

eqation-1 Sin θ বা < ACB এর sine
equation-2 Cos θ বা < ACB এর cosine
equation-3 tan θ বা < ACB এর tangent

এখন, Sin θ এর অন্যোন্যক-ই হল Cosec θ,  অর্থাৎ, cosec

ঠিক তেমন, Cos θএর অন্যোন্যক হল Sec-theta

আবার, Tan θ এর অন্যোন্যক হল cot theta

এবার, sin^{2}\theta + cos^{2}\theta = \left (\frac{AB}{AC} \right )^{2} +\left (\frac{BC}{AC} \right )^{2}

=\frac{(AB)^{2}+(BC)^{2}}{(AC)^{2}}

= =\frac{(AC)^{2}}{(AC)^{2}}\; \; \;\;[\because AB^{2}+BC^{2} = AC^{2}]

= 1

ঠিক একই প্রকারে আমরা পাই,

sec^{2}\theta - tan^{2}\theta = 1 ——— (1)

cosec^{2}\theta - cot^{2}\theta = 1 ——— (2)

[(1) ও (2) নম্বর প্রমাণগুলি নিজে করার চেষ্টা করো]

এবার, আমরা এই তিন পর্বের ধারণার ভিত্তিতে কয়েকটি প্রশ্নের সমাধানের চেষ্টা করবো।

subscribe-jump-magazine-india

প্রথম উদাহরণ

\mathbf{sin \: c = \frac{2}{3}} হলে \mathbf{cos \; c \times cosec\; c = ?}

∴ লম্ব AB = 2 একক, অতিভুজ AC = 3 একক হলে,

ভূমি BC = \sqrt{AC^{2} -{AB}^{2}}

= \sqrt{9 - 4}

= \sqrt{5} একক

\therefore cos \; c = \frac{BC}{AC} =\frac{\sqrt{5}}{3}

এখন cosec\; c = \frac{1}{sin\; c}

\therefore cosec\; c = \frac{3}{2}

\mathbf{\therefore cos\; c \times cosec\; c = \frac{\sqrt{5}}{3}\times \frac{3}{2}= \frac{\sqrt{5}}{2}} একক


JUMP ম্যাগাজিনের ফেসবুক পেজ লাইক করার আবেদন রইল!:)


দ্বিতীয় উদাহরণ

\mathbf{\frac{1-sin^{2}30^{\circ}}{1+sin^{2}45^{\circ}}\times \frac{cos^{2}60^{\circ} + cos^{2}30^{\circ}}{cosec^{2}90^{\circ} - cot^{2}90^{\circ}}\div (sin 60^{\circ} \times tan30^{\circ})}

আমরা ত্রিকোণমিতিক ছকে function গুলির মান জেনে গিয়েছি আগের পর্বে। এবার আমরা সেই মানগুলি বসিয়ে পাই –

\frac{1-(\frac{1}{2})^{2}}{1+(\frac{1}{\sqrt2})^{2}}\times \frac{(\frac{1}{2})^{2} + (\frac{\sqrt3}{2})^{2}}{1} \div (\frac{\sqrt3}{2} \times \frac{1}{\sqrt3} )

= \frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{2}}\times \frac{(\frac{1}{4}+ \frac{3}{4})}{1} \times \frac{2}{1}

= \frac{3}{4}\times \frac{2}{3}\times \frac{4}{4}\times \frac{2}{1}

= 1


দশম শ্রেণির অন্যান্য বিভাগগুলি পড়ুন –ভৌতবিজ্ঞান | গণিত | জীবনবিজ্ঞান

তৃতীয় উদাহরণ

\mathbf{tan^2\; \frac{\pi}{4}\; sin \frac{\pi}{3}\; tan\frac{\pi}{6}\; tan^2\frac{\pi}{3}= 1\frac{1}{2}}

‘π’ বলতে এখানে বুঝব 180º, রেডিয়ানে কোণের মান ‘π’ বা ‘π’ যুক্ত সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা হয়, সেখানে 2π = 360º ধরে নেওয়া হয়।

সুতরাং, \frac{\pi}{4}=\frac{180^{\circ}}{4}=45^{\circ}, \frac{\pi}{3}=\frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ} এবং \frac{\pi}{6}=\frac{180^{\circ}}{6}=30^{\circ}

এবার সমীকরণে মানগুলি বসিয়ে পাইঃ

tan^{2}45^{\circ} . \; sin60^{\circ} .\; tan30^{\circ} . \; tan^{2}60^{\circ}

= 1\times \frac{\sqrt3}{2}\times \frac{1}{\sqrt3}\times (\sqrt3)^2

= \frac{3}{2}

= 1\frac{1}{2}

পরবর্তী পর্ব → পূরক কোণ

এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।



এছাড়া,পড়াশোনা সংক্রান্ত যেকোনো বিষয়ের আলোচনায় সরাসরি অংশগ্রহন করতে যুক্ত হতে পারেন ‘লেখা-পড়া-শোনা’ ফেসবুক গ্রূপে। এই গ্রুপে যুক্ত হতে ক্লিক করুন এখানে।

lekha-pora-shona-facebook-group

Aditi Sarkar
রাজাবাজার সায়েন্স কলেজের ফলিত গণিতের (MSc in Applied Mathematics) প্রাক্তন ছাত্রী অদিতি সরকারের গণিতের সাথে সম্পর্ক চিরকালীন। পড়াশোনার পাশাপাশি গান শুনতে ও ছবি আঁকতে ভালোবাসেন অদিতি।

Leave a Reply