trigo-function
Madhyamik

ত্রিকোণমিতিক function এর পারস্পারিক সম্পর্ক ও কয়েকটি সমাধান

শ্রেণিঃ দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: ত্রিকোণমিতি (তৃতীয় পর্ব)


প্রথম পর্বে আমরা জেনেছি, যদি ΔABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ হয় এবং যার ABC = 90º ABC = θ

right-angle-triangle-trigo

eqation-1 Sin θ বা < ACB এর sine
equation-2 Cos θ বা < ACB এর cosine
equation-3 tan θ বা < ACB এর tangent

এখন, Sin θ এর অন্যোন্যক-ই হল Cosec θ,  অর্থাৎ, cosec

ঠিক তেমন, Cos θএর অন্যোন্যক হল Sec-theta

আবার, Tan θ এর অন্যোন্যক হল cot theta

এবার, sin^{2}\theta + cos^{2}\theta = \left (\frac{AB}{AC} \right )^{2} +\left (\frac{BC}{AC} \right )^{2}

=\frac{(AB)^{2}+(BC)^{2}}{(AC)^{2}}

= =\frac{(AC)^{2}}{(AC)^{2}}\; \; \;\;[\because AB^{2}+BC^{2} = AC^{2}]

= 1

ঠিক একই প্রকারে আমরা পাই,

sec^{2}\theta - tan^{2}\theta = 1 ——— (1)

cosec^{2}\theta - cot^{2}\theta = 1 ——— (2)

[(1) ও (2) নম্বর প্রমাণগুলি নিজে করার চেষ্টা করো]

এবার, আমরা এই তিন পর্বের ধারণার ভিত্তিতে কয়েকটি প্রশ্নের সমাধানের চেষ্টা করবো।

jump-magazine-subscription

প্রথম উদাহরণ

\mathbf{sin \: c = \frac{2}{3}} হলে \mathbf{cos \; c \times cosec\; c = ?}

∴ লম্ব AB = 2 একক, অতিভুজ AC = 3 একক হলে,

ভূমি BC = \sqrt{AC^{2} -{AB}^{2}}

= \sqrt{9 - 4}

= \sqrt{5} একক

\therefore cos \; c = \frac{BC}{AC} =\frac{\sqrt{5}}{3}

এখন cosec\; c = \frac{1}{sin\; c}

\therefore cosec\; c = \frac{3}{2}

\mathbf{\therefore cos\; c \times cosec\; c = \frac{\sqrt{5}}{3}\times \frac{3}{2}= \frac{\sqrt{5}}{2}} একক।


দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

দ্বিতীয় উদাহরণ

\mathbf{\frac{1-sin^{2}30^{\circ}}{1+sin^{2}45^{\circ}}\times \frac{cos^{2}60^{\circ} + cos^{2}30^{\circ}}{cosec^{2}90^{\circ} - cot^{2}90^{\circ}}\div (sin 60^{\circ} \times tan30^{\circ})}

আমরা ত্রিকোণমিতিক ছকে function গুলির মান জেনে গিয়েছি আগের পর্বে। এবার আমরা সেই মানগুলি বসিয়ে পাই –

\frac{1-(\frac{1}{2})^{2}}{1+(\frac{1}{\sqrt2})^{2}}\times \frac{(\frac{1}{2})^{2} + (\frac{\sqrt3}{2})^{2}}{1} \div (\frac{\sqrt3}{2} \times \frac{1}{\sqrt3} )

= \frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{2}}\times \frac{(\frac{1}{4}+ \frac{3}{4})}{1} \times \frac{2}{1}

= \frac{3}{4}\times \frac{2}{3}\times \frac{4}{4}\times \frac{2}{1}

= 1


দশম শ্রেণির অন্যান্য বিভাগগুলি পড়ুন –ভৌতবিজ্ঞান | গণিত | জীবনবিজ্ঞান

তৃতীয় উদাহরণ

\mathbf{tan^2\; \frac{\pi}{4}\; sin \frac{\pi}{3}\; tan\frac{\pi}{6}\; tan^2\frac{\pi}{3}= 1\frac{1}{2}}

‘π’ বলতে এখানে বুঝব 180º, রেডিয়ানে কোণের মান ‘π’ বা ‘π’ যুক্ত সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা হয়, সেখানে 2π = 360º ধরে নেওয়া হয়।

সুতরাং, \frac{\pi}{4}=\frac{180^{\circ}}{4}=45^{\circ}, \frac{\pi}{3}=\frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ} এবং \frac{\pi}{6}=\frac{180^{\circ}}{6}=30^{\circ}

এবার সমীকরণে মানগুলি বসিয়ে পাইঃ

tan^{2}45^{\circ} . \; sin60^{\circ} .\; tan30^{\circ} . \; tan^{2}60^{\circ}

= 1\times \frac{\sqrt3}{2}\times \frac{1}{\sqrt3}\times (\sqrt3)^2

= \frac{3}{2}

= 1\frac{1}{2}

পরবর্তী পর্ব → পূরক কোণ

এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।



এছাড়া,পড়াশোনা সংক্রান্ত যেকোনো বিষয়ের আলোচনায় সরাসরি অংশগ্রহন করতে যুক্ত হতে পারেন ‘লেখা-পড়া-শোনা’ ফেসবুক গ্রূপে। এই গ্রুপে যুক্ত হতে ক্লিক করুন এখানে।

Aditi Sarkar
রাজাবাজার সায়েন্স কলেজের ফলিত গণিতের (MSc in Applied Mathematics) প্রাক্তন ছাত্রী অদিতি সরকারের গণিতের সাথে সম্পর্ক চিরকালীন। পড়াশোনার পাশাপাশি গান শুনতে ও ছবি আঁকতে ভালোবাসেন অদিতি।