বীজগাণিতিক সংখ্যামালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ

শ্রেণি – অষ্টম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: বীজগাণিতিক সংখ্যামালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ

আগের পর্বে আমরা মিশ্রণ সম্পর্কে জেনেছি। এই পর্বে আমরা বীজগাণিতিক সংখ্যামালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্পর্কে জেনে নেব।

ছোটবেলায়, আমরা যখন গুণ, ভাগ শিখেছি তখন জেনেছি যে, গুণফল = গুণ্য × গুণক
অর্থাৎ, 60(গুণফল) = 12(গুণ্য) × 5(গুণক)

আবার, ভাগের ক্ষেত্রে আমরা জানি, ভাজ্য ÷ ভাজক = ভাগফল।
যদি 60 কে ভাজ্য ধরি এবং ভাজক যদি 5 হয়, তবে ভাগফল হবে 12।
অথবা, ভাজ্য 60, ভাজক 12 তবে ভাগফল হবে 5।
অর্থাৎ 60 (ভাজ্য) ÷ 5 (ভাজক) = 12 (ভাগফল)
60 (ভাজ্য) ÷ 12 (ভাজক) = 5 (ভাগফল)

সুতরাং আমরা দেখছি 60 কে 12 দিয়েও ভাগ করা যায় আবার 5 দিয়েও ভাগ করা যায়। তাহলে 60 কে কি শুধুই 12 আর 5 দিয়েই ভাগ করা যায়?
এর উত্তর কিন্তু না হবে। অর্থাৎ আরো অনেক সংখ্যা দিয়েই 60 কে ভাগ করা যাবে।

60 কে আমরা বিভিন্ন ভাবে লিখতে পারি

60 = 1 × 60
60 = 3 × 20
60 = 5 × 12
60 = 2 × 30
60 = 4 × 15
60 = 6 × 10
সুতরাং, 60 কে আমরা 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30, 60 এই সংখ্যাগুলি দিয়ে ভাগ করতে পারি।
∴ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30, 60 এইগুলি হল 60 এর উৎপাদক।

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
আবার, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহুর দৈর্ঘ্য × বাহুর দৈর্ঘ্য

আমরা একটি আয়তক্ষেত্র নিলাম যার ক্ষেত্রফল $(16a^2 + 24ab + 9b^2)$ । এই আয়তক্ষেত্রটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে চেষ্টা করি।

$16a^2 + 24ab + 9b^2$ (ক্ষেত্রফল) $= (4a)^2 + 2 \times 4a \times 3b + (3b)^2$
$= (4a + 3b)^2$
$= (4a + 3b)$ (দৈর্ঘ্য) × $(4a + 3b)$ (প্রস্থ)
অর্থাৎ দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের দৈর্ঘ্য $(4a + 3b)$ একক।
ধরি, একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $(121p^2 - 81q^2)$ বর্গএকক।
এই বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে চেষ্টা করি।

( $121p^2 - 81q^2$ ) (ক্ষেত্রফল) = $(11p)^2 - (9q)^2$
$= (11p + 9q)$ (বাহুর দৈর্ঘ্য) × $(11p - 9q)$ (বাহুর দৈর্ঘ্য)
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $(11p - 9q)$ একক।

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ অভেদ

I) $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
II) $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
III) $a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)$
IV) $a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)$
V) $a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)$
VI) $x^2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)$
(VI) নং অভেদের উৎপাদক বিশ্লেষণ মধ্যপদের সহগ অর্থাৎ $(a + b)$ এর উপর নির্ভর করে।

এই পদ্ধতিকে মধ্যসহগ বিশ্লেষণ পদ্ধতি বলে।

কতকগুলি উদাহরণের সাহায্যে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা দেখে নিই।
1. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি $x^2 + (p + q)x + pq = (x + p) (x + q)$ অভেদের সাথে তুলনা করে p ও q এর মান খুঁজব ও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব। তোমরাও আমাদের সাথে সাথে করতে শুরু কর।

উৎপাদকে বিশ্লেষণের গাণিতিক উদাহরণ

a) $(x^2 - 2x)^2 + 5(x^2 - 2x) - 36$
সমাধান

ধরি, $(x^2 - 2x) = a$
$a^2 + 5a - 36$
$= a^2 + (9 - 4)a - 36$
$= a^2 + 9a - 4a - 36$
$= a(a + 9) - 4(a + 9)$
$= (a + 9) (a - 4)$ [(VI) নং অভেদের সাহায্যে]
$= (x^2 - 2x + 9) (x^2 - 2x - 4)$ [ $a$ এর মান বসিয়ে] (উত্তর)

b) $a^6 + 3a^3b^3 - 40b^6$ $[40 = 5 \times 8; 3 = (8 - 5)]$
সমাধান

$= a^6 + (8 - 5)a^3b^3 - 40b^6$
$= a^6 + 8a^3b^3 - 5a^3b^3 - 40b^6$ [(VI) নং অভেদের সাহায্যে]
$= a^3 (a^3 + 8b^3) - 5b^3 (a^3 + 8b^3)$
$= (a^3 + 8b^3) (a^3 - 5b^3)$
$= [(a)^3 + (2b)^3] (a^3 - 5b^3)$
$= (a + 2b) (a^2 - 2ab + 4b^2) (a^3 - 5b^3)$ [(IV) নং অভেদের সাহায্যে] (উত্তর)

c) $(x + 1) (x + 9) (x + 5)^2 + 63$
সমাধান

$= (x^2 + 9x + x + 9) (x + 5) (x + 5) + 63$
$= (x^2 + 10x + 9) (x^2 + 10x + 25) + 63$
ধরি, $(x^2 + 10x) = a$
$(a + 9) (a + 25) + 63$
$= a^2 + 25a + 9a + 225 + 63$
$= a^2 + 34a + 288$ $[288 = 18 \times 16; 34 = (18 + 16)]$
$= a^2 + (18 + 16)a + 288$ [(VI) নং অভেদের সাহায্যে]
$= a(a + 18) + 16(a + 18)$
$= (a + 18) (a + 16)$
$= (x^2 + 10x + 18) (x^2 + 10x + 16)$ $[16 = 8 \times 2; 10 = (8 + 2)]$
$= (x^2 + 10x + 18) (x^2 + 8x + 2x + 16)$
$= (x^2 + 10x + 18) [x(x + 8) + 2(x + 8)]$
$= (x^2 + 10x + 18) (x + 8) (x + 2)$ (উত্তর)

d) $x^2 - bx - (a + 3b) (a + 2b)$
সমাধান

= $x^2 - [(a + 3b) - (a + 2b)]x - (a + 3b) (a + 2b)$ [(VI) নং অভেদের সাহায্যে]
$= x^2 - (a + 3b)x + (a + 2b)x - (a + 3b) (a + 2b)$
$= x [x - (a + 3b)] + (a + 2b) [x - (a + 3b)]$
$= [x - (a + 3b)] [x + (a + 2b)]$
$= (x - a - 3b) (x + a + 2b)$ (উত্তর)

e) $7x^2 + 48xy - 7y^2\; \; latex [7 \times 7 = 49; 48 = (49 - 1)]$
সমাধান

$= 7x^2 + (49 - 1) xy - 7y^2$
$= 7x^2 + 49xy - 1xy - 7y^2$
$= 7x (x + 7y) - y (x + 7y)$
$= (7x - y) (x + 7y)$ (উত্তর)

f) $6 + 5a - 6a^2\; \; \;$ $[6 \times 6 = 36; 36 = 9 \times 4; 5 = (9 - 4)]$
সমাধান

$= 6 + (9 - 4)a - 6a^2$
$= 6 + 9a - 4a - 6a^2$
$= 3(2 + 3a) - 2a(2 + 3a)$
$= (2 + 3a) (3 - 2a)$ (উত্তর)

অষ্টম শ্রেণির অন্য বিভাগ – বাংলা | ইংরেজি | গণিত | বিজ্ঞান | ভূগোল

g) $6(a + b)^2 + 5(a^2 - b^2) - 6(a + b)^2 \; \;\;$ $[6 \times 6 = 36; 36 = 9 \times 4; 5 = (9 - 4)]$

সমাধান

$= 6(a + b)^2 + (9 - 4) (a + b) (a - b) - 6(a + b)^2$
$= 6(a + b)^2 + 9(a + b) (a - b) - 4(a + b) (a - b) - 6(a + b)^2$
$= 3(a + b) [2(a + b) + 3(a - b)] - 2(a - b) [2(a + b) + 3(a - b)]$
$= [2(a + b) + 3(a - b)] [3(a + b) - 2(a - b)]$
$= [2a + 2b + 3a - 3b] [3a + 3b - 2a + 2b]$
$= [5a - b] [a + 5b]$ (উত্তর)